Najprej predstavimo nekaj osnovnih lastnosti piramide, ki nam bodo pomagale kasneje.
Število kart na vsakem nivoju piramide lahko definiramo z: ni=h-i+1, število vseh kart: n=2h-1 in višina piramide: h=log2(n+1)+1=h, kjer je n = št. kart, i = nivo (oz. "nadstropje") piramide in h = višina piramide.
Se karto splača položiti takoj, ali je bolje počakati?
Predpostavimo, da igramo s standardnim kupčkom kart, v katerem je 54 kart (4 vsakega števila + 2 jokerja), in da je piramida višine 5 (skupno 15 kart v piramidi). Vsak igralec dobi 5 kart. Zanima nas, če je bolje karto nemudoma položiti, ko vidimo ujemanje, ali je bolje počakati in upati, da se karta ponovno pojavi na višjem nivoju, kjer je faktor množitve večji.
Recimo, da se odpre prva karta prve vrste, in ta karta je as. Mi imamo le en as v roki, in nas zanima ali ga je bolje v tej rundi položiti, ali počakati če se ponovno pojavi kasneje.
Najprej izračunamo število neznanih kart. Vseh kart v kupčku je 54, od tega jih je 15 v piramidi, in ena od njih je že odkrita. Poleg tega poznamo še 4 ostale karte, saj so v naši roki, in vemo da zagotovo niso as. Torej, lahko izračunamo št. neznanih kart: Nneznanih=54-(15+1+4)=34
Ker nas zanima, ali se bo as ponovno pojavil v višjem nivoju, kjer bo št. požirkov nato večje, želimo izračunati možnost, da se vsaj eden od preostalih dveh asov pojavi v drugem, tretjem, četrtem ali petem nivoju piramide. Verjetnost, da se as ne pojavi v teh nivojih piramide, lahko izračunamo s pomočjo hipergeometrijske porazdelitve, in jo nato negiramo, da dobimo verjetnost vsaj ene pojavitve asa. Vemo, da sta v kupčku kart še 2 asa in 32 ne-asov. Prav tako vemo, da je število neodkritih kart na nivojih 2-5: ∑ni=10
Te vrednosti vstavimo v hipergeometrijsko formulo, in vidimo, da je verjetnost, da se v 10ih kartah ki so na nivojih 2-5 pojavi vsaj en as:
Nato nas zanima pričakovana vrednost požirkov, ki nam jih bo as prinesel, če z njim počakamo na 2. ali kasnejši nivo. Pričakovano vrednost lahko izračunamo:
Kjer je EV - expected value (pričakovana vrednost), wn faktor množitve požirkov na nivoju n in Pnivo pa verjetnost, da se as pojavi na nivoju n.
Tako smo izračunali, da če z asom počakamo na kasnejše nivoje, je pričakovan izkoristek asa v povprečju 1.778krat večji od tistega enega požirka, ki bi ga dobili na voljo, če bi as položili takoj v prvem nivoju. Ta kalkulacija seveda predpostavlja, da so vsi igralci v igri striktno racionalni, in se bodo držali istih načel, kar pa seveda verjetno ni res. Če nek drug igralec položi asa v prvi vrsti, se verjetnost ponovne pojavitve asa drastično zmanjša, prav tako pa bi bilo pogosto bolj smiselno položiti asa v nižjih nivojih, če je že več igralcev položilo svojega na trenutni karti, saj lahko tako kvantiteta kart na kupu preseže doprinos večjega faktorja množitve na višjih nivojih. Prav tako ta izračun ne upošteva možnosti, da če karto zadržiš za kasneje, in se ta ne pojavi več, se tvoja možnost igranja avtobusa poveča.